Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 3 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((3 - λ) (3 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.2.1.1

Expande $(3 - λ) (3 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (3 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ (3 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (9 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (9 - 3 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (3 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.2.2

Resta $3 λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.2

Resta $1$ de $9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 6 λ + λ^{2} + 8) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2.2.3

Reordena $- 6 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (1 (3 - λ) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.2.1.1

Multiplica $3 - λ$ por $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (3 - λ - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (3 - λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3.2.2

Resta $1$ de $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (- λ + 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 1.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (- λ + 2) + 1 (1 \cdot 1 - (3 - λ))$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (- λ + 2) + 1 (1 - (3 - λ))$

Paso 1.5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (- λ + 2) + 1 (1 - 1 \cdot 3 - - λ)$

Paso 1.5.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (- λ + 2) + 1 (1 - 3 - - λ)$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- - λ$ .

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Paso 1.5.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (- λ + 2) + 1 (1 - 3 + 1 λ)$

Paso 1.5.4.2.1.4.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (- λ + 2) + 1 (1 - 3 + λ)$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $3$ de $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (- λ + 2) + 1 (- 2 + λ)$

Paso 1.5.4.2.3

Reordena $- 2$ y $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.1.1

Expande $(3 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 6 λ) + 3 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.1.2.1

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 3 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.1.2.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.1.2.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - λ^{3} + 6 λ^{2} - λ \cdot 8 - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.2.7

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 18 λ + 24 - λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.3

Suma $3 λ^{2}$ y $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 18 λ + 24 - λ^{3} - 8 λ - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.4

Resta $8 λ$ de $- 18 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 26 λ + 24 - λ^{3} - 1 (- λ + 2) + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 26 λ + 24 - λ^{3} - 1 (- λ) - 1 \cdot 2 + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.6

Multiplica $- 1 (- λ)$ .

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Paso 1.5.5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 26 λ + 24 - λ^{3} + 1 λ - 1 \cdot 2 + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.6.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 26 λ + 24 - λ^{3} + λ - 1 \cdot 2 + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 26 λ + 24 - λ^{3} + λ - 2 + 1 (λ - 2)$

Paso 1.5.5.1.8

Multiplica $λ - 2$ por $1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 26 λ + 24 - λ^{3} + λ - 2 + λ - 2$

Paso 1.5.5.2

Suma $- 26 λ$ y $λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 25 λ + 24 - λ^{3} - 2 + λ - 2$

Paso 1.5.5.3

Suma $- 25 λ$ y $λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ + 24 - λ^{3} - 2 - 2$

Paso 1.5.5.4

Resta $2$ de $24$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ - λ^{3} + 22 - 2$

Paso 1.5.5.5

Resta $2$ de $22$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 24 λ - λ^{3} + 20$

Paso 1.5.5.6

Mueve $- 24 λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} - 24 λ + 20$

Paso 1.5.5.7

Reordena $9 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20 = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.7.1.1

Factoriza $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.7.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 1.7.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Paso 1.7.1.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.7.1.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$- 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 20$

Paso 1.7.1.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 9 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 20$

Paso 1.7.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 + 9 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 20$

Paso 1.7.1.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 + 9 \cdot 4 - 24 \cdot 2 + 20$

Paso 1.7.1.1.3.5

Multiplica $9$ por $4$ .

$- 8 + 36 - 24 \cdot 2 + 20$

Paso 1.7.1.1.3.6

Suma $- 8$ y $36$ .

$28 - 24 \cdot 2 + 20$

Paso 1.7.1.1.3.7

Multiplica $- 24$ por $2$ .

$28 - 48 + 20$

Paso 1.7.1.1.3.8

Resta $48$ de $28$ .

$- 20 + 20$

Paso 1.7.1.1.3.9

Suma $- 20$ y $20$ .

$0$

Paso 1.7.1.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $λ - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20}{λ - 2}$

Paso 1.7.1.1.5

Divide $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20$ por $λ - 2$ .

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Paso 1.7.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$24 λ$

$20$

Paso 1.7.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- λ^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$

Paso 1.7.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Paso 1.7.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- λ^{3} + 2 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Paso 1.7.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$

Paso 1.7.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$

Paso 1.7.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 λ^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$

Paso 1.7.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$14 λ$

Paso 1.7.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 λ^{2} - 14 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$

Paso 1.7.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$
							-	$10 λ$

Paso 1.7.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$
							-	$10 λ$	+	$20$

Paso 1.7.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 10 λ$ por el término de mayor orden en el divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$10$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$
							-	$10 λ$	+	$20$

Paso 1.7.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$10$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$
							-	$10 λ$	+	$20$
							-	$10 λ$	+	$20$

Paso 1.7.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 10 λ + 20$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$10$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$
							-	$10 λ$	+	$20$
							+	$10 λ$	-	$20$

Paso 1.7.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$10$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	-	$24 λ$	+	$20$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$24 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$14 λ$
							-	$10 λ$	+	$20$
							+	$10 λ$	-	$20$
										$0$

Paso 1.7.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- λ^{2} + 7 λ - 10$

Paso 1.7.1.1.6

Escribe $- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20$ como un conjunto de factores.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 7 λ - 10) = 0$

Paso 1.7.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.7.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.7.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 10 = 10$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 1.7.1.2.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 λ$ .

$(λ - 2) (- λ^{2} + 7 (λ) - 10) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.1.2

Reescribe $7$ como $2$ más $5$

$(λ - 2) (- λ^{2} + (2 + 5) λ - 10) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 2 λ + 5 λ - 10) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.7.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(λ - 2) ((- λ^{2} + 2 λ) + 5 λ - 10) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(λ - 2) (λ (- λ + 2) - 5 (- λ + 2)) = 0$

Paso 1.7.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- λ + 2$ .

$(λ - 2) ((- λ + 2) (λ - 5)) = 0$

Paso 1.7.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(λ - 2) (- λ + 2) (λ - 5) = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ - 2 = 0$

$- λ + 2 = 0$

$λ - 5 = 0$

Paso 1.7.3

Establece $λ - 2$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.3.1

Establece $λ - 2$ igual a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Paso 1.7.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 2$

Paso 1.7.4

Establece $λ - 5$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.4.1

Establece $λ - 5$ igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

Paso 1.7.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 5$

Paso 1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(λ - 2) (- λ + 2) (λ - 5) = 0$ verdadera.

$λ = 2, 5$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $- 2$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.6

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.7

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.8

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 3 - 2 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3

Simplify each element.

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Paso 3.2.3.1

Resta $2$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 3 - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.5

Resta $2$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.7

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 3 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.8

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.3.9

Resta $2$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y + z = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - z \\ y \\ z \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 5$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.5

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.6

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.7

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.8

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.9

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 3 - 5 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - 5 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

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Paso 4.2.3.1

Resta $5$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - 5 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - 5 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 3 - 5 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 - 5 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.3.5

Resta $5$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.3.7

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 3 - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.3.8

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 - 5 \end{array}]$

Paso 4.2.3.9

Resta $5$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = 5$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 - 1 & - 2 + \frac{1}{2} & 1 + \frac{1}{2} & 0 - 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 1 & 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{1}{2} & - 2 + \frac{1}{2} & 0 - 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} (- \frac{3}{2}) & - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$